Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Si f est continue sur I, alors il existe une infinité de fonctions F qui admettent f pour dérivée. Ces fonctions F sont appelées primitives de f sur I, et notées de manière générale ?f(x)dx. Elles sont définies à une constante près, puisque l’on a vu ci-dessus que les fonctions constantes ont des dérivées nulles. Si F est une primitive quelconque de f, la primitive la plus générale de f est donc notée F + c, avec c constante arbitraire réelle, appelée constante d’intégration. Considérons par exemple la fonction f définie par f(x) = x2 pour tout x réel. Alors la fonction F définie, pour tout x réel, par F(x) = x3/3, constitue une primitive de f.
classiques de l'intégration est le calcul d'aires. Soit A l'aire de la région délimitée par la représentation graphique de la fonction f, l'axe des x, la droite x = a et la droite x = b. Pour simplifier, supposons que f(x) = 0 entre a et b. Pour tout x = a, soit L(x) l'aire de la région comprise entre a et x. Pour déterminer la valeur de A, il suffit donc de calculer L(x) et de l'appliquer à x = b. Si h est une petite variation de x, le domaine délimité par la représentation graphique de f et l'axe des abscisses compris entre x et x + h s'apparente approximativement à un rectangle de hauteur f(x) et de largeur h. Par conséquent, l'aire de ce domaine, par ailleurs égale à L(x + h) - L(x), est sensiblement égale à f(x).h. Lorsque h ? 0, ces approximations deviennent plus fondées donc k / h ? f(x). On en déduit que L(x) = f(x) : L est une primitive de f. Donc, si nous connaissons une primitive F de f,L = F + c, où c est une constante. Mais comme L(a) = 0, c = -F(a). Par conséquent, A = L(b) = F(b) - F(a).