Chose promise chose due.

Voila la demonstration aboutissant aux equations d'observations en vue d'un ajustement par la méthode des moindres carrés :

Soit (D) la droite de regression de ma serie de n points Mi(xi,yi,zi), i allant de 1 à n.

Soit A(xa,ya,za) un point de (D) et N un vecteur directeur de (D). Les coordonnées de N sont nx, ny et nz.

Quel que soit i allant de 1 a n, Mi appartient à (D) si et seulement s'il existe un réel k tel que AM = k.N

Autrement dit, j'ai le systeme suivant :

> xi - xa = k.nx

> yi - ya = k.ny

> zi - za = k.nz

On a donc : k = (xi - xa) / nx

On va substituer cette valeur de k dans les deux autres équations. On obtient :

> nx.(yi-ya)=ny.(xi-xa)

> nx.(zi-za)=nz.(xi-xa) 

Notre équation de droite est la solution de ce système de 2 équations... une droite de l'espace est l'intersection de deux plans...

Les paramètres à déterminer sont, je le rappelle, xa, ya et za ainsi que nx, ny et nz.

De ce fait, on voit que ce système n'est pas linéaire. Pour ce faire on va bidouiller un peu...

En fait, je vais fixer deux paramètres afin de n'avoir qu'un seul point A et un seul vecteur N possibles.

Je fixe xa = 0 et nx = 1.

Mon système est presque toujours vrai.

La droite (D) possède - sauf cas très particulier où (D) est inclue dans un plan parallèle mais distinc du plan (O,y,z) - un point d'abscisse

nulle et un vecteur directeur d'abscisse égal à 1.

Alors j'obtiens le système suivant, avec les observations d'un côté et les paramètres de l'autre :

> yi = ny.xi + ya

> zi = nz.xi + za

Ayant n points Mi, j'ai donc 2n équations s'écrivant sous la forme : B = A x X

Voila... Il n'y a plus qu'à lancer la moulinette.

A+,

Tom.